中图分类号：TP273

文献标识码：A

 

Fault Detection and Fault-tolerant Control for Delta Operator Switched System

Huang Lichang¹,Guan Cheng²,Ye Binsen³,WANG Xinbao³，FU Junbo³

1. 3. Nanjing NR Electric Co., Ltd, Nanjing 211102, CHINA

2. Suzhou Electric Power Construction Engineering Co., Ltd，Suzhou 215100，CHINA

Abstract

This paper deals with the fault detection and fault-tolerant control problem of delta operator switched systems. A switching filter/controller and the state switching law are designed to detect the fault and to guarantee a specified closed-loop  performance. Finally, a simulation example is given to illustrate the effectiveness of the main result.                 .Keywords

Switched systems

Delta operator

Fault-tolerant control

Fault detection

 

1□引言

Delta算子切换系统是每一个模态都是Delta算子系统的切换系统^[1]。近年来，关于Delta算子切换系统的研究也有所发展，比如鲁棒容错控制问题^[2]。首先Delta算子系统的切换系统是一类切换系统，故切换系统的研究现状有必要简述一下。切换系统已经为广大学者关注了较长一段时间，而且相应的研究成果也很丰富。众所周知，稳定与镇定是控制系统的基本问题，就是切换系统也不例外。文献[3]解决了离散时间切换系统的稳定与镇定问题；文献[4]基于多储藏函数方法解决了切换系统的镇定问题；非线性切换系统的稳定与镇定问题也进入了学者们的视野^[5]，进一步，切换系统的和控制问题也得到了解决。对具有多胞体的不确定性的离散时间线性切换系统，文献[6]提出了一种设计滤波器的方法；文献[7]处理了一类非线性切换系统的增益和控制问题；针对LPV切换系统，文献[7]利用平均驻留时间方法探讨了-控制问题。除了这些问题，非线性切换系统的回步设计问题已经为一些学者关注^[8]；此外，容错控制问题的研究也有所发展。文献[10-12]研究了切换系统的故障检测与容错控制问题；作为专著，文献[11]涉及了非线性切换系统的容错控制问题；文献[12]针对具有时间滞后和切换滞后的切换系统的可靠控制问题。随机系统作为控制系统的一类，也在切换系统中得到了关注，文献[13]研究了随机切换系统的稳定性和控制问题。稳定性在控制系统中有多种，输入—状态稳定就是其中之一，文献[14]针对一类切换系统研究了输入—状态稳定性分析和性能指标优化问题。不论哪种切换系统，故障检测与容错控制问题都是不可或缺的，因为现实中系统出现故障是常见现象。为此，本文致力于Delta算子切换系统的故障检测与容错控制的研究。

    本文所设计的检测器同时也是容错控制器。本文采用多Lyapunov函数，基于状态切换方法提出了此检测器/控制器的设计方法；最后利用仿真例子来验证所提方法的可行性和有效性。

2□问题描述

考虑下面的具有故障的Delta算子切换系统：

(1)

其中，是切换律，是系统状态向量，是系统控制输入向量，是控制输出向量，是属于空间的外部干扰输入向量，是属于空间的系统故障向量，、、、、和()是已知适维常值矩阵。

Delta算子的定义如下：

其中，是系统(1)的采样周期。

考虑如下形式的检测器/控制器：

          (2)

其中，是检测器/控制器的状态向量，是残差输出向量，、、、和是待定的适维参数矩阵。

令和，则由式(1)和(2)组成的闭环系统可以描述为：

           (3)

其中，，，和。

本章的目的在于设计切换检测器/控制器(2)和下面的状态切换律

    (4)

其中，且，满足

(i) 在条件下，闭环切换系统(5.3)是全局渐近稳定的；

(ii) 对一个给定的正数，在零初始条件下有

其中，且

。

如果切换检测器/控制器(5.2)和切换律(5.4)被设计出来了，那么，残差信号将会用于评价系统。评价函数定义如下：

     (5)

其中，是评价开始的瞬间时刻，是评价步长。值得注意的是，是一个有限数，这是因为故障发生在有限的时刻。

    阈值定义如下：

           (6)

检测故障发生的逻辑关系如下：

。

为了叙述简便，这里引入下面的符号：

，

，

，

和

。

为了达到本章的目的，需要引入下面的引理：

    引理1. 如果正定对称矩阵、、和矩阵使得，且满足下面的LMIs

，

和

()，

那么，对任意，下面的不等式成立

，

，其中。

    引理2. 对任意，如果正定对称矩阵和满足

，

那么，下面的不等式成立：

，，

其中，。

3□主要结果

    定理1. 对给定的，正数和任意，如果存在正定对称矩阵、和，矩阵、、、和，以及矩阵满足下面的矩阵不等式：

             (7)

          (8)

切换检测器/控制器(2)的增益矩阵为

   (9)

和

   (10)

其中，，，，

，，，

，，，，，且和可以通过矩阵分解得到，那么，在条件下。闭环切换系统(3)是全局渐近稳定的且在零初始条件下，有

。

证明：显然矩阵不等式(8)蕴含

           (11)

那么，式(4)中出现的Lyapunov矩阵被设计为：

。

进一步，可得

。

由引理1和2，以及式(7)和(8)可得

      (12)

其中，。

用可逆矩阵及其转置分别右乘和左乘矩阵不等式(12)两端，可得矩阵不等式(12)等价于

    (13)

由Schur补引理可得，矩阵不等式(13)等价于

 

           (14)

矩阵不等式(14)蕴含

    (15)

取Lyapunov函数

，

其中，切换律就是式(4)中定义的。

因此，在条件下，矩阵不等式(15)能够保证闭环切换系统(3)的全局渐近稳定性。

假设，在时刻，。由矩阵不等式(14)可得

 

 

 

 

 

 

 

 

                      (16)

由零初始条件和原点的渐近稳定性可得，

。

于是，不等式(5.16)蕴含

，

即

。

因此，可以断定

。

注1：注意矩阵不等式(8)并不是一个LMI。为了找到矩阵不等式(8)的一组解，需要给定参数矩阵，这样，矩阵不等式(8)就转化为了LMI，可用Matlab的鲁棒控制工具箱求解。

4□仿真验证

此处考虑文献[15]中的飞行切换控制系统中的两个模态：

模态	马赫数	高度(ft)	攻角(度)
1	0.4	20k	9.95
2	0.6	20k	1.48

取采样周期，则无故障且无外部扰动的Delta算子切换系统(1)的参数矩阵为：

，，

，。

考虑故障和外部扰动，其对应的参数矩阵为：

，，，，和。

取，，和，利用Matlab的鲁棒控制工具箱可得

，，，

，，，

，，

和

。

取故障

，

和外部扰动

。

取状态初值，。那么，所设计的切换律(4)如图1所示，闭环切换系统的状态响应曲线如图2所示。

 

图1 所设计的切换律(4)

Fig.1 The designed switching law (4)

 

图2 闭环状态响应曲线

Fig.2 Closed-loop state response curves

残差信号如图3所示。

 

图3 残差信号

Fig.3 The singles of error

 

图4 评价函数

Fig.4 The evaluated function

 

5□结论

本文提出了一个切换检测器/控制器和状态切换律的设计方法，所设计的切换检测器/控制器和状态切换律，能够保证检测到故障且保证了闭环Delta算子切换系统具有某个指定的性能。最后，引入一个飞行切换控制系统来说明所提方法的可行性和有效性。仿真结果显示，故障在发生的时刻能够被检测出来。